* Number System * संख्या पद्धत्ति

 * Number System *  संख्या पद्धत्ति    

 

1. Unite digit ( इकाई का अंक ) 

2. No. of Zeroes ( शून्य की संख्या )

3. No. of factors ( गुणनखण्डों की संख्या )

4. Divisibility Rule ( विभाज्यता के नियम ) 

5. Remainder Theoram ( शेषफल परिमेय )

1. Unite digit ( इकाई का अंक ) 

* किसी भी संख्या का बाँए से अंतिम अंक ही उस संख्या का इकाई अंक है। 

Ex. 394601 का इकाई अंक ? = 1 

प्रश्न*   $83\times 87\times 93\times 59\times 61$ का इकाई अंक ? 

हल*    $3\times 7\times 3\times 9\times 1 = 7$ 

प्रश्न*  $675\times 375\times 32\times 817\times 326 \mathrm{का} \mathrm{इकाई} \mathrm{अंक} ?$ 

हल* $5\times 5\times 2\times 7\times \mathrm{6 }= 0$  

प्रश्न*   $49237\times 3995\times 738\times 83\times \mathrm{9\; के\; गुणनखण्ड\; मे\; इकाई\; के\; स्थान\; का\; अंक\; क्या\; है। }$

   

प्रश्न*  $81\times 82\times 83\times 84.........\times \mathrm{89 }$के गुणनखण्ड मे इकाई के स्थान का अंक क्या है। 

हल* $1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times \mathrm{9 }= 0$

$\mathrm{<br>}$

Ex.  $1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times ........\times 100$ = 0  Unit digit 

प्रश्न* $71\times 72\times 73\times 74\times 76\times 77\times 78\times \mathrm{79\; में\; इकाई\; का\; अंक\; ज्ञात\; करो। }$

$\mathrm{हल*}$1×2×3×4×6×7×8×9 = 6 

प्रश्न* 742×437×543×679 गुणनखण्ड मे इकाई का अंक ज्ञात करो। 

हल*  2×7×3×9 = 8

*Unit Digit of power number *

#(0-9) 

# Cyclecity (चक्र) of any number is 4 

# Unit digit = 0,1,5,6 इनके पास चाहे जितनी भी Power हो इनका Unit digit , Same ही आता है। 

Ex.${\left(120\right)}^{25}=0$

${\left(\mathrm{ \; \; \; 21}\right)}^{23454}=1$

${\mathrm{ \; \; \; 635}}^{125}=5$
${\left(\mathrm{ \; \; \; 2696}\right)}^{8567}=\mathrm{6 }$

$\mathrm{<br>}$

* 4 का Rule * 

  Unit digit 4 की Power यदि कोई odd(विषम)  संख्या है तो उसका unit digit = 4 ही होगा।

और अगर Power कोई Even (सम)  संख्या है तो उसका unit digit = 6 होगा।

Ex.  ${\left(234\right)}^{95}=4$ 

${\left(\mathrm{ \; \; \; \; 54}\right)}^{932}=6$

$\mathrm{<br>}$

$\mathrm{*\; 9 }$का Rule * 

     Unit digit 9 की Power यदि कोई odd(विषम)  संख्या है तो उसका unit digit = 9 ही होगा।

    और अगर Power कोई Even (सम)  संख्या है तो उसका unit digit = 1 होगा।

Ex. ${\left(339\right)}^{53}=9$ 

${\left(\mathrm{ \; \; \; 889}\right)}^{94}=1$

* Power वाली संख्याओं का इकाई अंक निकालने के लिए उस संख्या के Power के अंतिम के दो अंको को 4 से भाग देना चाहिए। 

Ex.  ${\left(22\right)}^{26}={\left(22\right)}^{\frac{26}{4}}=2^2=4$

$\mathrm{<br>}$

Ex.  ${\left(433\right)}^{221}\times {\left(218\right)}^{418}={\left(433\right)}^{\frac{221}{4}}\times {\left(218\right)}^{\frac{418}{4}}={\left(3\right)}^1\times {\left(8\right)}^2=3\times 64=2$

$\mathrm{<br>}$

प्रश्न*${\left(25\right)}^{6251}+{\left(73\right)}^{54}+{\left(56\right)}^{528}$मे इकाई का अंक है ?

 ${\left(124\right)}^{372}+{\left(124\right)}^{\mathrm{373 }}$के योग  मे इकाई का अंक क्या होगा ?

हल* 6+4=10 = 0 इकाई का अंक है 

प्रश्न*${\left(113\right)}^{\mathrm{1003 }}$इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।

हल*${\left(3\right)}^{\frac{1003}{4}}={\left(3\right)}^3=27=7$

प्रश्न*${\left(122\right)}^{173}$गुणनफल मे इकाई का अंक है।

हल*${\left(122\right)}^{\frac{173}{4}}={\left(2\right)}^1=\left(2\right)$

$\left(\mathrm{<br>}\right)$

इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।

हल*${\left(2\right)}^{412}\times {\left(9\right)}^{431} = 16\times 9 = 6\times 9 =54 =4$

प्रश्न* ${\left(4387\right)}^{245}\times {\left(621\right)}^{72}$ मे इकाई काअंक है ?

प्रश्न*  ${264}^{102}+{264}^{\mathrm{103 }}$इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।

हल*  $4^{\frac{102}{4}}+4^{\frac{103}{4}}=4^2+4^3=16+64=100=0$

$\mathrm{<br>}$

इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।

हल*$$\begin{gathered} (5^{\frac{13}{4}}\times 6^{\frac{42}{4}})+6^{\frac{25}{4}}+3^{\frac{42}{4}}+6^{\frac{23}{4}} \\ =(5^1\times 6^1)+6^1+3^2+6^3 \\ =30+6+9+216 \\ =1 \end{gathered}$$$$\begin{gathered} (5^{\frac{13}{4}}\times 6^{\frac{42}{4}})+6^{\frac{25}{4}}+3^{\frac{42}{4}}+6^{\frac{23}{4}}\text{ \\ =(51×61)+61+32+63 \\ =30+6+9+216 \\ =1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{ \\ <br>} \end{gathered}$$

प्रश्न*${\left(251\right)}^{98}+{\left(21\right)}^{29}-{\left(106\right)}^{100}+{\left(705\right)}^{35}-\mathrm{64 }$इकाई का अंक ज्ञात कीजिए।

हल*$1+1-6+5-4=7-10=-3=10-3=7$

$\mathrm{<br>}$

$\mathrm{*\; Factorial\; * }$

a!= a factorial 

Ex. 3!= 3×2×1

       5!=5×4×3×2×1

      8!=8×7×6×5×4×3×2×1

* 5 Factorial या उससे अधिक सभी Factorial का Unit digit 0 होगा।*

प्रश्न* 1!+2!+3!+4!+5!............+50! मे इकाई का अंक ज्ञात करो ? 

हल* =

        = 1!=1=1

        =2!=2×1=2

       =3!= 3×2×1=6

      =4!=4×3×2×1=24

     =5!=5×4×3×2×1=0

    = 1+2+6+24+=33= 3 Unit digit

प्रश्न*${\left(11\right)}^{1!}\times {\left(12\right)}^{2!}\times {\left(13\right)}^{3!}\times {\left(14\right)}^{4!}\times {\left(15\right)}^{5!}$ मे इकाई का अंक ज्ञात करो ?  

* 4! या उससे अधिक Factorial हमेशा 4 से विभाजित होगा शेषफल 0 होगा । *

हल*${\left(1\right)}^1\times {\left(2\right)}^2\times {\left(3\right)}^6\times {\left(4\right)}^{24}\times 5 = 1\times 4\times 9\times 5 = 0$ Unit digit होगा

प्रश्न*${\left(888\right)}^{9235!}+{\left(222\right)}^{9235!}+{\left(666\right)}^{2359}+{\left(999\right)}^{9999!}$ मे इकाई का अंक ज्ञात करो ?

हल*${\left(8\right)}^4+{\left(2\right)}^4+{\left(6\right)}^4+{\left(9\right)}^{\mathrm{4 }}$ =$6+6+6+1=\mathrm{9 }$Unit digit होगा

प्रश्न*${973}^{234!}\times {234}^{973!}$ इकाई का अंक ज्ञात करो ?

हल*$3^4\times 4^4=1\times 6=6$ Unit digit होग

Exercise:

Question 1: संख्या ${\left(2137\right)}^{753}$ मेंइकाई का अंक क्या है?

A) 1

B) 3

C) 7

D)9

सही उत्तर 7 है

Question 2:संख्या ${\left(13\right)}^{2002}$ में इकाई का अंक कितना है?

A) 7

B) 9

C) 3

D) 1

सही उत्तर 7 है

Question 3:(584 × 328 × 547 × 613) मेंइकाई अंक ककतना है?

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

सही उत्तर 2 है

Question 4: ${\left(5627\right)}^{153} \times {\left(671\right)}^{72}$ में इकाई का अंक कितना है?

A) 1

B)3

C) 7

D)9

सही उत्तर 7 है

Question 5: $(7^{95} –3{ }^{58})$ का इकाई अंक ककतना है?

A) 0

B) 4

C) 6

D) 7

सही उत्तर 4 है

Question 6: ${\left(3694\right)}^{1793} \times {\left(615\right)}^{317} \times {\left(841\right)}^{491}$ $(7^{95} –3{ }^{58})$में इकाई अंक कितना है?

A) 0

B) 2

C) 3

D) 5

सही उत्तर 0 है

Question 7: $(3^{61} \times 6^{43} \times 7^{82})$ में इकाई अंक कितना है?

A)3

B) 2

C)6

D) 8

सही उत्तर 2 है

Question 8: $\left(17\right){}^{ 1999} + {( 11 )}^{1999} – {\left(7\right)}^{1999}$ के इकाई का अंक कितना है?

A) 1

B) 2

C) 3

D) इनमें से कोई नही

सही उत्तर 1 है

Question 9: ${\left(217\right)}^{413} \times {\left(819\right)}^{547} \times (414{)}^{624} \times {\left(342\right)}^{812}$ का इकाई अंक क्या है?

A) 8

B) 5

C) 4

D) 1

सही उत्तर 8 है

Question 10: $6^{256} –4^{256}$ का यूनिट अंक क्या है?

A)1

B)0

C)7

D)4

सही उत्तर 0 है

Question 11: 1! + 2! + 3! + 4! +...............+50! में इकाई अंक ज्ञात कीकिए।

A) 3

B) 1

C) 5

D) 8

सही उत्तर 3 है

Question 12: 1! + 2! + 3! + ... + 99! में इकाई के स्थान पर कौन सा अंक है?

A) 7

B) 1

C) 3

D) 0

सही उत्तर 3 है

Question 13: ${\left(4\right)}^{31} + {\left(36\right)}^{81} - {\left(243\right)}^{26}$ में इकाई अंक है:

A)

B)

C)

D)

सही उत्तर है

Question 14:

A) 1

B) 3

C) 4

D) 9

सही उत्तर 1 है

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